Noetherの定理の計算①

たまには趣向を変えてガッツリ物理でもどうでしょうか。

最近は研究室で解析力学の復習みたいなことをずっとやっているので、頻繁に出てくるNoetherの定理の計算です。

完全にただのメモですが、同じようなところで悩んでる人がいつかこのページにたどり着いて助かった！ってなれば幸いです。

またそんな人にも伝わるように、途中計算はなるべく丁寧に書こうかと思っています。普段書くネタがないから引き延ばそうと思ってるとかではないですよ

興味ない人はブラウザバック推奨です。

場の理論への応用は後に回すとして、とりあえず解析力学の範囲内での確認です。

以下の本の第3章の前半あたりの話です。

ゲージ理論の解析力学

作者: 菅野礼司
出版社/メーカー: 吉岡書店
発売日: 2007/07
メディア: 単行本
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$\epsilon$ を座標変換の微小パラメータとします。

時間を固定しない変換

\begin{equation} q^i(t) \rightarrow q'^i(t') = q^i(t) + \delta q^i(t, \epsilon) \quad (1 \leq i \leq N) \end{equation}

\begin{equation} t \rightarrow t' = t + \delta t(t, \epsilon) \end{equation}

に対して、作用の表式は

\begin{equation} S = \int_{t_i}^{t_f} dt L(q, \dot{q}, t) \end{equation}

から

\begin{equation} S' = \int_{t'_i}^{t'_f} dt' L'(q', \dot{q}', t') \end{equation}

と変更を受けますが、これらの差を $\delta S$ とおくことにします。

\begin{equation} \delta S = S' - S = \int_{t'_i}^{t'_f} dt' L'(q', \dot{q}', t') - \int_{t_i}^{t_f} dt L(q, \dot{q}, t) \end{equation}

ここで、 $\delta S$ が不変であるとは

\begin{equation} \delta S = 0 \end{equation}

となることを言います。

一方で、 $\delta S$ が準不変であるとは

\begin{equation} \delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \frac{dF(q, t, \epsilon)}{dt} \end{equation}

というような形に書けることをいいます。

不変でなくても、準不変でありさえすればそこに保存量が見出せるというのが（拡張された）Neotherの定理です。

$\delta S$ の表式から始めましょう。

\begin{equation} \delta S = \int_{t'_i}^{t'_f} dt' L'(q', \dot{q}', t') - \int_{t_i}^{t_f} dt L(q, \dot{q}, t) \end{equation}

ここに現れる第1項めの積分は、変数変換 $t' \rightarrow t$ を行えば積分範囲を $t_i \sim t_f$ に変更することができます。どういうことかといえば、

\begin{equation} \frac{dt'}{dt} = 1 + \frac{d \delta t}{dt} \end{equation}

に注意して

\begin{align} \int_{t'_i}^{t'_f} dt' L'(q', \dot{q}', t') &= \int_{t_i}^{t_f} \frac{dt'}{dt} dt L'(q', \dot{q}', t') \\ &= \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ L'(q', \dot{q}', t') + L'(q', \dot{q}', t') \frac{d \delta t}{dt} \right\} \end{align}

ということです。すなわちこれより、 $\delta S$ は1つの積分にまとめられて

\begin{align} \delta S &= \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ L'(q', \dot{q}', t') - L(q, \dot{q}, t) + L'(q', \dot{q}', t') \frac{d \delta t}{dt} \right\} \\ &= \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ L'(q', \dot{q}', t') - L(q, \dot{q}, t) + L(q, \dot{q}, t) \frac{d \delta t}{dt} \right\} \end{align}

となります。最後の等号ではLagrangianの変化分

\begin{equation} \delta L = L'(q', \dot{q}', t') - L(q, \dot{q}, t) \end{equation}

が微小であるという前提のもと、微小量 $\delta t$ （の時間微分）との積なので二次の微小量は無視して $L'$ を $L$ に変更しても問題ないという性質を利用しました。

次にここに現れる $L'(q', \dot{q}', t')$ を展開していきます。 $L(q, \dot{q}, t)$ とのずれを考えれば、明らかに

\begin{equation} L'(q', \dot{q}', t') = L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \delta q^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \delta \dot{q}^i(t) + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \end{equation}

が成り立つことはよいでしょう。ここで添字 $i$ については、 $1$ から $N$ までで和をとるEinsteinの規約を用いています。