How's life?

日々の生活を無秩序に綴っていきます。酒と音楽、あと物理。

Noetherの定理の計算②

物理

 

前回のつづきです。

早くまとめたかったので、最後までいっちゃいましょう。

 

変分\delta q^i(t)を簡単に扱えないのは、異なる時間tとt'の間で定義されているからでした。

そこで、同一時刻での時間をずらさない変分として

\begin{equation} \bar{\delta} q^i(t) = q'^i(t) - q^i(t) \end{equation}

を用意しましょう。この\bar{\delta} q^i(t)を用いて{\delta} q^i(t)を計算します。

\begin{equation} \delta q^i(t) = q'^i(t') - q^i(t) = q'^i(t') - q^i(t') + q^i(t') - q^i(t) \end{equation}

ここまでは単純なテクニックです。前半2つの項は時刻t'での時間をずらさない変分なので、\bar{\delta} q^i(t')となります。

一方後半2つの項は同じq^iでの\delta t離れた2点の差なので、単純に\delta tの1次まで展開して結局

\begin{equation} \delta q^i(t) = \bar{\delta} q^i(t) + \frac{d q^i(t)}{dt} \delta t \end{equation}

となります。

 

この調子で\delta \dot{q}^i(t)も計算しましょう。愚直にいきます。

\begin{equation} \delta \dot{q}^i(t) = \dot{q}'^i(t') - \dot{q}^i(t) = \frac{d q'^i(t')}{dt'} - \frac{d q^i(t)}{dt} = \frac{d q'^i(t')}{dt} \frac{dt}{dt'} - \frac{d q^i(t)}{dt} \end{equation}

ここで\frac{dt}{dt'}はt = t' - \delta tより

\begin{equation} \frac{dt}{dt'} = 1 - \frac{d \delta t}{dt'} = 1 - \frac{d \delta t}{dt} \end{equation}

であるため（最後の等号では例の如く2次の微小量が現れるのでt'をtに置き換えました）、

\begin{align} \delta \dot{q}^i(t) &= \frac{d q'^i(t')}{dt} \left( 1 - \frac{d \delta t}{dt} \right) - \frac{d q^i(t)}{dt} \\ &= \frac{d q'^i(t')}{dt} - \frac{d q'^i(t)}{dt} \frac{d \delta t}{dt} - \frac{d q^i(t)}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} (q'^i(t') - q^i(t)) - \frac{d q'^i(t')}{dt} \frac{d \delta t}{dt} \end{align}

第1項の時間微分の中身は\delta q^i(t)ですね。第2項については、q'^i(t') = q^i(t) + \delta q^i(t)を代入して書くと

\begin{equation} \delta \dot{q}^i(t) = \frac{d \delta q^i(t)}{dt} - \frac{d}{dt} (q^i(t) + \delta q^i(t)) \frac{d \delta t}{dt} \end{equation}

となります。

ここで、展開したときに一番最後の項は \delta q^i(t) \delta tという2次の微小量となるため、この段階で打ち切っておきましょう。

\begin{equation} \delta \dot{q}^i(t) = \frac{d \delta q^i(t)}{dt} - \frac{d q^i(t)}{dt} \frac{d \delta t}{dt} \end{equation}

先ほど得られた\delta q^i(t) = \bar{\delta} q^i(t) + \dot{q}^i(t) \delta tを第1項に代入して計算すれば

\begin{align} \delta \dot{q}^i(t) &= \frac{d}{dt} (\bar{\delta} q^i(t) + \dot{q}^i(t) \delta t) - \dot{q}^i(t) \frac{d \delta t}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} \bar{\delta} q^i(t) + \ddot{q}^i(t) \delta t + \dot{q}^i(t) \frac{d \delta t}{dt} - \dot{q}^i(t) \frac{d \delta t}{dt} \\ &=\frac{d}{dt} \bar{\delta} q^i(t) + \ddot{q}^i(t) \delta t \end{align}

となりますが、\bar{\delta} q^i(t)は時間をずらさない変分であったため、単に

\begin{equation} \frac{d}{dt} \bar{\delta} q^i(t) = \bar{\delta} \dot{q}^i(t) \end{equation}

としてよいです。すなわち

\begin{equation} \delta \dot{q}^i(t) = \bar{\delta} \dot{q}^i(t) + \ddot{q}^i(t) \delta t \end{equation}

を得ます。\delta q^i(t)のときと似た形になることがわかります。

 

さて、以上の結果を変換後のLagrangianの展開

\begin{equation} L'(q', \dot{q}', t') = L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \delta q^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \delta \dot{q}^i(t) + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \end{equation}

に代入してあげます。

\begin{align} L'(q', \dot{q}', t') &= L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} (\bar{\delta} q^i(t) + \dot{q}^i(t) \delta t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} (\bar{\delta} \dot{q}^i(t) + \ddot{q}^i(t) \delta t) + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t \\ &= L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i(t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \dot{q}^i(t) \delta t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ddot{q}^i(t) \delta t + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t  \\ &= L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^i(t) + \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} \dot{q}^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ddot{q}^i(t) + \frac{\partial L}{\partial t} \right) \delta t \end{align}

このようにまとめると、\delta tの係数の部分がうまいことLの時間についての全微分\frac{dL}{dt}の形になっていることがわかります。

\begin{equation} L'(q', \dot{q}', t') = L(q, \dot{q}, t) + \frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^i(t) + \frac{dL}{dt} \delta t \end{equation}

 

この結果を作用の変分の表式

\begin{equation} \delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ L'(q', \dot{q}', t') - L(q, \dot{q}, t) + L(q, \dot{q}, t) \frac{d \delta t}{dt} \right\} \end{equation}

に代入して計算します。スペースの都合上引数は省略して

\begin{equation} \delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{\frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^i + \frac{dL}{dt} \delta t + L \frac{d \delta t}{dt} \right\} \end{equation}

となりますが、後半の2項はまとめてL \delta tの時間微分になります。

\begin{equation} \delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{\frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^i + \frac{d}{dt} (L \delta t) \right\} \end{equation}

さらに真ん中の\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} \dot{q}^iの項については部分積分を行なって

\begin{align} \delta S &= \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{\frac{\partial L}{\partial q^i} \bar{\delta} q^i + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i \right) - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \bar{\delta} q^i + \frac{d}{dt} (L \delta t) \right\} \\ &= \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \bar{\delta} q^i + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t \right) \right \} \end{align}

を得ます。

 

したがって、作用の変分\delta Sが準不変である、すなわち

\begin{equation} \delta S = \int_{t_i}^{t_f} dt \frac{dF}{dt} \end{equation}

であるとき、恒等式

\begin{equation} \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \bar{\delta} q^i + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t \right) \right \} = \int_{t_i}^{t_f} dt \frac{dF}{dt} \end{equation}

すなわち

\begin{equation} \int_{t_i}^{t_f} dt \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \bar{\delta} q^i + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t - F \right) \right \} = 0 \end{equation}

が成り立つことがわかります。

前半は勝手知ったるEuler-Lagrange方程式ですね。よって、Euler-Lagrange方程式が成り立つ条件下ではこの項は消えて

\begin{equation} \int_{t_i}^{t_f} dt \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t - F \right) = 0 \end{equation}

となります。したがって、任意の時間領域t_i \sim t_fでこの式が成り立つとき

\begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t - F \right) = 0 \end{equation}

すなわち

\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \bar{\delta} q^i + L \delta t - F \end{equation}

が保存量です。変分\bar{\delta} q^iをもともとの\delta q^iで表せば、

\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} (\delta q^i - \dot{q}^i \delta t) + L \delta t - F = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \delta q^i - \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L \right) \delta t - F \end{equation}

が保存量ということになります。おつかれさまでした。