不変変分論 - How's life?

お久しぶりです。

続けよう続けようと言いつつ、やはり当初の予想通りものすごい勢いで飽きた。

何かを続けるということがことごとく向いてないと痛感しました。

で、久々に更新ですが、これはただの物理メモ。

無限小座標変換に対する恒等式を一般的にまとめておきます。

内容としては、前回のNoetherの定理の計算に近いものになると思います。ただし、前より一般的。

参考にしたのは内山龍雄『一般相対性理論』、第5章の不変変分論のところです。

一般相対性理論 (物理学選書 15)

作者: 内山龍雄
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1978/07/30
メディア: 単行本
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これから更新するときもこういうのばっかになりそうだなぁ。

自分用のメモなので、敬体もやめて常体にします。

$N$ 個の場 $\phi_A(x)$ ( $A = 1, 2, \cdots, N$ )を用意する。 $\phi_A(x)$ はスカラー場に限らず、ベクトル場、スピノル場など、どのような場でもよい。

そして、これらの場 $\phi_A(x)$ 、およびその1階微分 $\partial_{\mu} \phi_A(x)$ からなるLagrangian $L(\phi_A(x), \partial_{\mu} \phi_A(x))$ が与えられたとしよう。

場の作用 $I$ は

\begin{equation} I = \int d^4x \, L(\phi_A(x), \partial_{\mu} \phi_A(x)) \end{equation}

で与えられ、Euler-Lagrange方程式は $\phi_A$ に対する変分 $\delta \phi_A$ をとったときに作用の変分 $\delta I$ が0になることから導かれ（計算略）、

\begin{equation} [L]^A \equiv \frac{\partial L}{\partial \phi_A} - \partial_{\mu} \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \right) = 0 \end{equation}

である。

さて、今、微小座標変換

\begin{equation} x^{\mu} \to x'^{\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \end{equation}

を考えよう。この変換に伴い、場 $\phi_A(x)$ も

\begin{equation} \phi_A(x) \to \phi_A'(x') = \phi_A(x) + \delta \phi_A(x) \end{equation}

たる変換を受ける。

ここで新たに変分 $\bar{\delta} \phi_A(x)$ を、

\begin{equation} \bar{\delta} \phi_A(x) \equiv \phi_A'(x) - \phi_A(x) \end{equation}

で定義する。これを用いれば、変分 $\delta \phi_A(x)$ は

\begin{align} \delta \phi_A(x) &= \phi_A'(x') - \phi_A(x) \nonumber \\ &= \phi_A'(x') - \phi_A(x') + \phi_A(x') - \phi_A(x) \nonumber \\ &= \bar{\delta} \phi_A(x) + \partial_{\mu} \phi_A(x) \delta x^{\mu} \end{align}

と書き換えられる。最後の式の第1項は厳密には $\bar{\delta} \phi_A(x')$ だが、もともと微小量なので引数の $x'$ は $x$ にしても問題ない。

この変分 $\bar{\delta} \phi_A$ に関しては、変分と微分を入れ替えることが許される。実際に微小量の1次までで計算すると

\begin{align} \delta(\partial_{\mu} \phi_A) &= \partial_{\mu}' \phi_A'(x') - \partial_{\mu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \partial_{\nu} \phi_A'(x') - \partial_{\mu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= (\delta^{\nu}_{\ \mu} - \partial_{\mu} \delta x^{\nu}) \partial_{\nu} (\phi_A(x) + \delta \phi_A(x)) - \partial_{\mu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \partial_{\mu} \phi_A(x) + \partial_{\mu} \delta \phi_A(x) - \partial_{\mu} (\delta x^{\nu}) \partial_{\nu} \phi_A(x) - \partial_{\mu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \partial_{\mu} \delta \phi_A(x) - \partial_{\mu} (\delta x^{\nu}) \partial_{\nu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A(x) + \partial_{\nu} \phi_A(x) \delta x^{\nu}) - \partial_{\mu} (\delta x^{\nu}) \partial_{\nu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A(x)) + \partial_{\mu} (\partial_{\nu} \phi_A(x) \delta x^{\nu}) - \partial_{\mu} (\delta x^{\nu}) \partial_{\nu} \phi_A(x) \nonumber \\ &= \partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A(x)) + \partial_{\mu} (\partial_{\nu} \phi_A(x)) \delta x^{\nu} \end{align}

となるが、そもそも定義から $\delta (\partial_{\mu} \phi_A)$ は変分 $\bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A)$ によって

\begin{equation} \delta (\partial_{\mu} \phi_A) = \bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A) + \partial_{\nu} (\partial_{\mu} \phi_A(x)) \delta x^{\nu} \end{equation}

と書けるのであった。上の変形と比較して、確かに

\begin{equation} \bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A) = \partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A) \end{equation}

がわかる。

さて、これをふまえて作用の変分を計算しよう。積分領域は（座標値は異なるが）同じなので、

\begin{align} \delta I &= \int d^4x' \, L(\phi_A'(x'), \partial_{\mu}' \phi_A'(x')) - \int d^4x \, L(\phi_A(x), \partial_{\mu} \phi_A(x)) \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ \left| \frac{\partial x'}{\partial x} \right| L(\phi_A(x) + \delta \phi_A(x), \partial_{\mu} \phi_A(x) + \delta (\partial_{\mu} \phi_A(x))) - L(\phi_A(x), \partial_{\mu} \phi_A(x)) \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ (1 + \partial_{\mu} (\delta x^{\mu})) \left(L + \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \delta \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta (\partial_{\mu} \phi_A) \right) - L \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \delta \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta (\partial_{\mu} \phi_A) + L \partial_{\mu} (\delta x^{\mu}) \right] \end{align}

と計算できる。変分 $\bar{\delta}$ を使って書き直すと、

\begin{align} \delta I &= \int d^4x \, \left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \delta \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta (\partial_{\mu} \phi_A) + L \partial_{\mu} (\delta x^{\mu}) \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \,\left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} (\bar{\delta} \phi_A + (\partial_{\mu} \phi_A) \delta x^{\mu}) + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} (\bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A) + \partial_{\nu} (\partial_{\mu} \phi_A) \delta x^{\nu}) + L \partial_{\mu} (\delta x^{\mu}) \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \bar{\delta} \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A) + \left\{ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \partial_{\mu} \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\nu} \phi_A)} \partial_{\mu} (\partial_{\nu} \phi_A) \right\} \delta x^{\mu} + L \partial_{\mu} (\delta x^{\mu}) \right] \end{align}

となる。 $\{ \}$ 内第2項は、1つ前の式から $\mu$ と $\nu$ を入れ替えてある。

ここで $\{ \}$ 内は、よく見れば $\partial_{\mu} L$ となっていることに気づく。最後の項と合わせれば $\partial_{\mu} (L \delta x^{\mu})$ とできる。

さらに変分 $\bar{\delta}$ の性質から、第2項の $\bar{\delta} (\partial_{\mu} \phi_A)$ は $\partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A)$ とできるので

\begin{equation} \delta I = \int d^4x \, \left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \bar{\delta} \phi_A + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \partial_{\mu} (\bar{\delta} \phi_A) + \partial_{\mu} (L \delta x^{\mu}) \right] \end{equation}

を得る。

最後に部分積分を行う。

\begin{align} \delta I &= \int d^4x \, \left[ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} \bar{\delta} \phi_A - \partial_{\mu} \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \right) \bar{\delta} \phi_A + \partial_{\mu} \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \bar{\delta} \phi_A \right) + \partial_{\mu} (L \delta x^{\mu}) \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ \left\{ \frac{\partial L}{\partial \phi_A} - \partial_{\mu} \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \right) \right\} \bar{\delta} \phi_A + \partial_{\mu} \left\{ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \bar{\delta} \phi_A + L \delta x^{\mu} \right\} \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ [L]^A \bar{\delta} \phi_A + \partial_{\mu} \left\{ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} (\delta \phi_A - \partial_{\nu} \phi_A \delta x^{\nu}) + L \delta x^{\mu} \right\} \right] \nonumber \\ &= \int d^4x \, \left[ [L]^A \bar{\delta} \phi_A + \partial_{\mu} \left\{ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta \phi_A - \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \partial_{\nu} \phi_A - \delta^{\mu}_{\ \nu} L \right) \delta x^{\nu} \right\} \right] \end{align}

$[L$ ^A]は上に与えたEuler-Lagrange方程式である。またこの $()$ 内の量

\begin{equation} T^{\mu}_{\ \nu} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \partial_{\nu} \phi_A - \delta^{\mu}_{\ \nu} L \end{equation}

のことを、エネルギー運動量テンソルと呼ぶ。

重要なのは、ここまでの議論がEuler-Lagrange方程式の成立だとか場 $\phi_A$ の具体的な形だとかによらない、極めて一般的な式変形のみによるものだということである。

座標変換に対する作用の不変性、およびそこから得られる対称性の議論などは、上で得た恒等式に適切な値を代入して行えばよい。

特にこの座標変換において作用が不変であり（ $\delta I = 0$ ）、さらにEuler-Lagrange方程式が成り立つとき、すなわち $[L$ ^A = 0]を考えれば、領域の取り方によらず上式は成り立たねばならないので

\begin{equation} \partial_{\mu} \left\{ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta \phi_A - T^{\mu}_{\ \nu} \delta x^{\nu} \right\} = 0 \end{equation}

が成り立つ必要がある。この $\{ \}$ 内

\begin{equation} J^{\mu} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \phi_A)} \delta \phi_A - T^{\mu}_{\ \nu} \delta x^{\nu} \end{equation}

は、Noetherカレントに他ならない。